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一个圆的数学漫游
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开场：离开地球
神奇的梦
什么是圆？
第一部分：圆的几何基础
圆的定义与基本性质
圆的基本元素
圆的位置关系
圆与直线的位置关系
第二部分：圆的度量
圆周率π的发现
圆的周长公式
圆的面积公式（初等方法）
第三部分：函数与圆
圆的函数表示
隐函数的概念
分段函数与圆
第四部分：数列、极限与π
用数列逼近π
极限的引入
用极限证明圆的面积公式
圆周率π的发现
第五部分：连续性与圆
圆的连续性
圆的参数表示与连续性
圆的周长公式
第六部分：圆与三角函数
单位圆的引入
角度的度量：度与弧度
正弦和余弦的几何定义
正切、余切、正割、余割的定义
三角函数的周期性
三角函数的奇偶性
反三角函数的引入
三角恒等式与单位圆
圆的面积公式（初等方法）
第七部分：圆的解析表示
圆的方程
圆的标准方程与一般方程
圆的参数方程
圆的极坐标方程
第八部分：圆的向量表示
向量的基本概念
圆的向量表示
向量运算与圆
圆在三维空间
第九部分：圆的微分学
导数的引入
圆的切线方程
圆的法线方程
隐函数求导与圆
参数方程求导与圆
高阶导数与圆的曲率
圆的极值问题
第十部分：圆的积分学
定积分的引入
圆的面积再探（用定积分）
圆的弧长计算
圆的扇形面积（用积分）
圆的旋转体体积
圆的旋转体表面积
不定积分与圆的参数方程
第十一部分：π的级数表示
级数的引入
几何级数与π
莱布尼茨级数：π/4 = 1-1/3+1/5-1/7+...
反正切函数的级数展开
其他π的级数表示
级数的收敛性判定
幂级数与三角函数
第十二部分：圆的线性变换
矩阵与线性变换
圆的旋转
圆的缩放
圆的平移
圆的反射
复合变换与圆
第十三部分：圆与圆锥曲线
椭圆：压扁的圆？
双曲线与圆
抛物线与圆
圆锥曲线的统一方程
第十四部分：多元微积分与圆
多元函数与圆
偏导数与圆的切线
方向导数与圆
梯度与圆的法线
二重积分与圆的面积
极坐标下的二重积分
三重积分与球体
曲线积分与圆的周长
第十五部分：π的深入探索
π是无理数的证明
π是超越数的证明思路
π的计算历史
π在现代数学中的应用
第十六部分：圆的高级应用
圆的傅里叶级数
复数与单位圆
欧拉公式与单位圆
圆的概率问题
圆的优化问题
圆的哲学思考
莱布尼茨级数：π/4 = 1-1/3+1/5-1/7+...
问题提出
观察与猜想
严格证明
结论与应用
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