圆周率π的发现

问题提出

呼噜星球的学生已经知道如何测量圆的周长，也学会了用软绳子、轮子滚动等方法得到近似值。

有一天，一个学生问：

老师，圆的周长总是一个具体的数字，那圆的周长和直径之间有没有固定的比例呢？
如果有，这个比例到底是多少？

我在黑板上画了三个不同大小的圆，在每个圆上标出周长 $C$ 和直径 $d$，然后提出今天的核心任务：

• 任务 1：通过实际测量，猜一猜 $\\dfrac{C}{d}$ 大约是多少
• 任务 2：想办法把这个比例描述得更准确，而不是“差不多”“大概”

观察与猜想

我们先做一个简单的实验：

1. 选取三个大小不同的圆形物体（比如盘子、杯口、轮子）
2. 用细绳沿着圆一圈，量出周长 $C$
3. 用直尺量出直径 $d$
4. 计算比值 $\\dfrac{C}{d}$

学生们分组测量，得到了一些数据（这里只是示意）：

• 第 1 组：$\\dfrac{C}{d} \\approx 3.12$
• 第 2 组：$\\dfrac{C}{d} \\approx 3.15$
• 第 3 组：$\\dfrac{C}{d} \\approx 3.14$
• 第 4 组：$\\dfrac{C}{d} \\approx 3.13$

我问大家：

• 这些比值是不是差不多？
• 它们是不是都在同一个范围附近晃动？

学生们很快做出了猜想：

无论圆多大，$\\dfrac{C}{d}$ 似乎都在 $3.1$ 到 $3.2$ 之间，而且越量越接近 $3.14$ 左右。

于是，我们做出第一个大胆的猜想：

对任意圆，周长 $C$ 与直径 $d$ 的比值是一个固定常数，记作 $\\pi$。
即：$\\dfrac{C}{d} = \\pi$。

严格证明

呼噜星球的学生可不会轻易相信这个结论，他们坚持：

• “老师，你说是常数，那就要有严格的证明，而不是只看几组数据。”

我告诉他们：要想从公理和几何性质出发严格证明“所有圆的 $\\dfrac{C}{d}$ 相等”，需要比较复杂的几何工具，这部分证明在古代由数学家一步步完成。

不过，我们可以先接受这样一个几何事实（在更高阶的课程中再完整证明）：

所有圆之间是相似图形，也就是说，大圆可以看作是小圆按某个比例放大得到的。

如果所有圆都是相似的，那么：

• 当把一个圆按比例 $k$ 放大时：
  • 直径从 $d$ 变成 $k d$
  • 周长从 $C$ 变成 $k \\cdot C$
• 因此放大后的比值变成

$\\dfrac{k \\cdot C}{k d} = \\dfrac{C}{d}$

这说明：

对所有相似的圆来说，$\\dfrac{C}{d}$ 都是相同的常数。

而平面上任意两个圆都是相似的，因此所有圆的 $\\dfrac{C}{d}$ 都是同一个常数，我们把它记作 $\\pi$，于是有：

$C = \\pi d$

再利用 $d = 2r$（$r$ 为半径），可以得到熟悉的公式：

$C = 2\\pi r$

结论与应用

通过这节探索课，呼噜星球的学生得出了几个重要的结论：

• 结论 1：对任意圆，周长 $C$ 与直径 $d$ 的比值是同一个常数，记作 $\\pi$

• 结论 2：圆的周长公式可以写成

  $C = \\pi d \\quad \\text{或} \\quad C = 2\\pi r$

• 结论 3：我们通过测量与猜想，先发现了这个常数的存在，再通过相似的思想理解了它为什么对所有圆都一样

这只是关于 $\\pi$ 的第一步发现：

• 以后我们还会继续探索：
  • 如何用多边形逼近圆，得到更精确的 $\\pi$
  • 为什么 $\\pi$ 是一个无限不循环小数
  • $\\pi$ 在面积、三角函数、级数中的神奇出现

对于呼噜星球的学生来说，$\\pi$ 不再是一个“被告知的神奇数字”，而是一个从实验中逐渐浮现出来的常数。
他们真正体会到：数学常数并不是凭空出现的，而是从具体问题中一步步“被发现”出来的。