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向量积公式

三重积公式

拉格朗日恒等式

拉格朗日恒等式
(a⃗×b⃗)⋅(c⃗×d⃗)=(a⃗⋅c⃗)(b⃗⋅d⃗)−(a⃗⋅d⃗)(b⃗⋅c⃗)(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d}) - (\vec{a} \cdot \vec{d})(\vec{b} \cdot \vec{c})

这个公式扩展了混合积的概念，用于计算两个向量积的数量积。

雅可比恒等式

雅可比恒等式
a⃗×(b⃗×c⃗)=(a⃗⋅c⃗)b⃗−(a⃗⋅b⃗)c⃗\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}

这个公式描述了向量积的双重运算，可以展开或化简复杂的向量表达式。

向量积的展开公式

基本展开

向量积的坐标展开
a⃗×b⃗=(aybz−azby,azbx−axbz,axby−aybx)\vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)=∣i⃗j⃗k⃗axayazbxbybz∣= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}

特殊情况

与基向量的向量积

a⃗×i⃗=(0,−az,ay)=−ayj⃗+azk⃗\vec{a} \times \vec{i} = (0, -a_z, a_y) = -a_y \vec{j} + a_z \vec{k}

a⃗×j⃗=(az,0,−ax)=azi⃗−axk⃗\vec{a} \times \vec{j} = (a_z, 0, -a_x) = a_z \vec{i} - a_x \vec{k}

a⃗×k⃗=(−ay,ax,0)=−ayi⃗+axj⃗\vec{a} \times \vec{k} = (-a_y, a_x, 0) = -a_y \vec{i} + a_x \vec{j}

向量积的几何应用公式

面积公式

向量积与面积

平行四边形面积：S=∣a⃗×b⃗∣S = |\vec{a} \times \vec{b}|

三角形面积：S=12∣a⃗×b⃗∣S = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|

体积公式

向量积与体积

平行六面体体积：V=∣[a⃗,b⃗,c⃗]∣=∣(a⃗×b⃗)⋅c⃗∣V = |[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|

四面体体积：V=16∣[a⃗,b⃗,c⃗]∣V = \frac{1}{6} |[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|

向量积恒等式

基本恒等式

向量积恒等式

a⃗×b⃗=−b⃗×a⃗\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}

a⃗×(b⃗+c⃗)=a⃗×b⃗+a⃗×c⃗\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}

a⃗×(kb⃗)=k(a⃗×b⃗)\vec{a} \times (k\vec{b}) = k(\vec{a} \times \vec{b})

a⃗×a⃗=0⃗\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}

复合恒等式

复合向量积

(a⃗+b⃗)×c⃗=a⃗×c⃗+b⃗×c⃗(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}

a⃗×(b⃗×c⃗)=(a⃗⋅c⃗)b⃗−(a⃗⋅b⃗)c⃗\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}

(a⃗×b⃗)×c⃗=(a⃗⋅c⃗)b⃗−(b⃗⋅c⃗)a⃗(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}

练习题

练习 1

使用雅可比恒等式计算 a⃗×(b⃗×c⃗)\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})，其中 a⃗=(1,0,0)\vec{a} = (1, 0, 0)，b⃗=(0,1,0)\vec{b} = (0, 1, 0)，c⃗=(0,0,1)\vec{c} = (0, 0, 1)。

参考答案 (3 个标签)
雅可比恒等式 向量积计算 复合运算

解题思路： 直接应用雅可比恒等式。

详细步骤：

  1. a⃗⋅c⃗=(1,0,0)⋅(0,0,1)=0\vec{a} \cdot \vec{c} = (1, 0, 0) \cdot (0, 0, 1) = 0
  2. a⃗⋅b⃗=(1,0,0)⋅(0,1,0)=0\vec{a} \cdot \vec{b} = (1, 0, 0) \cdot (0, 1, 0) = 0
  3. a⃗×(b⃗×c⃗)=0⋅b⃗−0⋅c⃗=0⃗\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = 0 \cdot \vec{b} - 0 \cdot \vec{c} = \vec{0}

答案：a⃗×(b⃗×c⃗)=0⃗\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0}

练习 2

计算 (a⃗×b⃗)⋅(c⃗×d⃗)(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d})，其中 a⃗=(1,1,0)\vec{a} = (1, 1, 0)，b⃗=(1,0,1)\vec{b} = (1, 0, 1)，c⃗=(0,1,1)\vec{c} = (0, 1, 1)，d⃗=(1,1,1)\vec{d} = (1, 1, 1)。

参考答案 (3 个标签)
拉格朗日恒等式 三重积 计算

解题思路： 使用拉格朗日恒等式计算。

详细步骤：

  1. 先计算各数量积： a⃗⋅c⃗=1×0+1×1+0×1=1\vec{a} \cdot \vec{c} = 1 \times 0 + 1 \times 1 + 0 \times 1 = 1 b⃗⋅d⃗=1×1+0×1+1×1=2\vec{b} \cdot \vec{d} = 1 \times 1 + 0 \times 1 + 1 \times 1 = 2 a⃗⋅d⃗=1×1+1×1+0×1=2\vec{a} \cdot \vec{d} = 1 \times 1 + 1 \times 1 + 0 \times 1 = 2 b⃗⋅c⃗=1×0+0×1+1×1=1\vec{b} \cdot \vec{c} = 1 \times 0 + 0 \times 1 + 1 \times 1 = 1

  2. (a⃗×b⃗)⋅(c⃗×d⃗)=(1)(2)−(2)(1)=2−2=0(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = (1)(2) - (2)(1) = 2 - 2 = 0

答案：(a⃗×b⃗)⋅(c⃗×d⃗)=0(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = 0

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
(a⃗×b⃗)⋅(c⃗×d⃗)(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d})三重积triple product两个向量积的数量积
a⃗×(b⃗×c⃗)\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})复合向量积vector triple product向量积的复合运算

中英对照

中文术语英文术语音标说明
拉格朗日恒等式Lagrange identity/ləˈɡrɑːndʒ aɪˈdentəti/向量积恒等式
雅可比恒等式Jacobi identity/dʒəˈkoʊbi aɪˈdentəti/向量积恒等式
三重积triple product/ˈtrɪpl ˈprɒdʌkt/三个向量的积
复合向量积vector triple product/ˈvɛktər ˈtrɪpl ˈprɒdʌkt/向量积的复合形式
上一章节 向量的混合积 学习三向量的混合积及其几何意义。
下一章节 内积与正交化 学习向量的内积空间、正交向量、施密特正交化方法

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