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多元函数微分学

梯度与散度

梯度的定义

梯度

设函数 f(x,y,z)f(x, y, z) 在空间中有定义，且有一阶偏导数，则称向量：

∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)

为函数 ff 的梯度，其中 ∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) 称为向量微分算子或Nabla算子。

二元函数的梯度

二元函数梯度

对于二元函数 f(x,y)f(x, y)：

∇f=(∂f∂x,∂f∂y)\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)

梯度的几何意义

定理 1

梯度 ∇f\nabla f 的方向是函数 f(x,y,z)f(x, y, z) 增长最快的方向，其模 ∣∇f∣|\nabla f| 表示最大增长率。

方向导数与梯度

方向导数公式

∂f∂l=∇f⋅e⃗l\frac{\partial f}{\partial l} = \nabla f \cdot \vec{e}_l

其中 e⃗l\vec{e}_l 是方向 l⃗\vec{l}的单位向量。

等值面与梯度

梯度向量总是垂直于等值面。

梯度的性质

梯度的性质
∇(f+g)=∇f+∇g(线性性质)∇(kf)=k∇f(齐次性)∇(fg)=f∇g+g∇f(积的性质)∇(fg)=g∇f−f∇gg2(商的性质)\begin{aligned} &\nabla (f + g) = \nabla f + \nabla g && \text{(线性性质)} \\ &\nabla (kf) = k \nabla f && \text{(齐次性)} \\ &\nabla (fg) = f \nabla g + g \nabla f && \text{(积的性质)} \\ &\nabla \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{g \nabla f - f \nabla g}{g^2} && \text{(商的性质)} \end{aligned}

散度的概念

散度

设 A⃗=(P,Q,R)\vec{A} = (P, Q, R) 是向量场，则称：

∇⋅A⃗=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z\nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}

为向量场 A⃗\vec{A}的散度。

散度的物理意义

散度表示向量场在某点的”源”或”汇”的强度：

  • ∇⋅A⃗>0\nabla \cdot \vec{A} > 0：该点是源点
  • ∇⋅A⃗<0\nabla \cdot \vec{A} < 0：该点是汇点
  • ∇⋅A⃗=0\nabla \cdot \vec{A} = 0：该点既不是源也不是汇

散度的性质

散度的性质
∇⋅(A⃗+B⃗)=∇⋅A⃗+∇⋅B⃗(线性性质)∇⋅(kA⃗)=k∇⋅A⃗(齐次性)∇⋅(∇f)=∇2f(梯度的散度)\begin{aligned} &\nabla \cdot (\vec{A} + \vec{B}) = \nabla \cdot \vec{A} + \nabla \cdot \vec{B} && \text{(线性性质)} \\ &\nabla \cdot (k\vec{A}) = k \nabla \cdot \vec{A} && \text{(齐次性)} \\ &\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f && \text{(梯度的散度)} \end{aligned}

拉普拉斯算子

拉普拉斯算子

∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}

拉普拉斯算子是散度的梯度。

练习题

练习 1

求函数 f(x,y,z)=x2+2y2+3z2f(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 的梯度。

参考答案 (3 个标签)
梯度 计算 偏导数

解题思路： 梯度是各偏导数组成的向量。

详细步骤：

  1. 计算偏导数： fx=2xf_x = 2x fy=4yf_y = 4y fz=6zf_z = 6z

  2. 梯度：∇f=(2x,4y,6z)\nabla f = (2x, 4y, 6z)

答案：∇f=(2x,4y,6z)\nabla f = (2x, 4y, 6z)

练习 2

求向量场 A⃗=(x2,y2,z2)\vec{A} = (x^2, y^2, z^2) 的散度。

参考答案 (3 个标签)
散度 计算 偏导数

解题思路： 散度是各分量的偏导数之和。

详细步骤：

  1. 计算各分量的偏导数： ∂∂x(x2)=2x\frac{\partial}{\partial x}(x^2) = 2x ∂∂y(y2)=2y\frac{\partial}{\partial y}(y^2) = 2y ∂∂z(z2)=2z\frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z

  2. 散度：∇⋅A⃗=2x+2y+2z=2(x+y+z)\nabla \cdot \vec{A} = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z)

答案：∇⋅A⃗=2(x+y+z)\nabla \cdot \vec{A} = 2(x + y + z)

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
∇f\nabla f梯度gradient of f函数f的梯度
∇⋅A⃗\nabla \cdot \vec{A}散度divergence of A向量场A的散度
∇2f\nabla^2 f拉普拉斯Laplacian of f函数f的拉普拉斯算子

中英对照

中文术语英文术语音标说明
梯度gradient/ˈɡreɪdiənt/函数增长最快的方向
散度divergence/daɪˈvɜːrdʒəns/向量场的源汇强度
拉普拉斯算子Laplacian operator/ləˈpleɪsiən ˈɒpəreɪtər/二阶微分算子
等值面level surface/ˈlɛvl ˈsɜːrfɪs/函数取值相同的曲面
上一章节极值与条件极值学习多元函数的极值判别、条件极值和拉格朗日乘数法。 下一章节多元函数的极值学习多元函数极值的定义、无条件极值和判别法。

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