方向导数

方向导数的定义

方向导数

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某邻域内有定义， $\vec{l} = (\cos\alpha, \cos\beta)$ 是一个单位方向向量。如果极限

$\lim_{t \to 0^+} \frac{f(x_0 + t\cos\alpha, y_0 + t\cos\beta) - f(x_0, y_0)}{t}$

存在，则称此极限为函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处沿方向 $\vec{l}$ 的方向导数，记作 $\frac{\partial f}{\partial l}\big|_{P_0}$ 。

方向导数表示函数沿指定方向的变化率。 $\frac{\partial f}{\partial l} > 0$ 时函数沿 $\vec{l}$ 递增， $\frac{\partial f}{\partial l} < 0$ 时递减。注意方向导数是单侧极限（ $t \to 0^+$ ），而偏导数是双侧极限。

三元函数 $u = f(x, y, z)$ 沿 $\vec{l} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ 的方向导数：

$\frac{\partial f}{\partial l} = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(x_0 + t\cos\alpha, y_0 + t\cos\beta, z_0 + t\cos\gamma) - f(x_0, y_0, z_0)}{t}$

方向导数的计算公式

定理1

如果函数 $z = f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处可微，则沿任意方向 $\vec{l} = (\cos\alpha, \cos\beta)$ 的方向导数都存在，且

$\frac{\partial f}{\partial l} = f_x(x_0, y_0)\cos\alpha + f_y(x_0, y_0)\cos\beta$

三元函数： $\frac{\partial f}{\partial l} = f_x\cos\alpha + f_y\cos\beta + f_z\cos\gamma$

几何解释

推论

证明

符号说明

重要关系：可微 ⇒ 任意方向方向导数存在；但方向导数存在 ⇏ 可微，也 ⇏ 偏导数存在。经典反例 $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ 在原点偏导存在但沿 $y=x$ 方向导数不存在。

方向导数与偏导数的关系

沿 $x$ 轴正向： $\frac{\partial f}{\partial l} = f_x$ ；沿 $y$ 轴正向： $\frac{\partial f}{\partial l} = f_y$ 。沿坐标轴负向时，方向导数等于对应偏导数的相反数。

典型例题

例题1：求方向导数

求 $z = x^2 + y^2$ 在 $(1, 2)$ 处沿 $\vec{l} = (1, 1)$ 的方向导数。

参考答案(3 个标签)

方向导数计算单位向量

单位化： $\vec{l}^0 = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$
$f_x = 2x, f_y = 2y$ ，在 $(1,2)$ 处 $f_x=2, f_y=4$
$\frac{\partial f}{\partial l} = 2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} + 4\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$

答案： $3\sqrt{2}$

例题2：三元函数的方向导数

求 $u = xyz$ 在 $(1,1,1)$ 处沿 $\vec{l} = (2,-1,2)$ 的方向导数。

参考答案(2 个标签)

方向导数三元函数

单位化： $|\vec{l}|=3$ ， $\vec{l}^0 = (\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$
$u_x=yz, u_y=xz, u_z=xy$ ，在 $(1,1,1)$ 处均为1
$\frac{\partial u}{\partial l} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$

答案： $1$

例题3：方向导数存在但不可微

讨论 $f(x,y) = \sqrt{|xy|}$ 在 $(0,0)$ 处的方向导数与可微性。

参考答案(3 个标签)

方向导数可微性反例

沿任意方向 $\vec{l}=(\cos\alpha,\cos\beta)$ ： $\frac{f(t\cos\alpha,t\cos\beta)}{t} = \sqrt{|\cos\alpha\cos\beta|}$ ，极限存在。
故沿任意方向方向导数都存在，值为 $\sqrt{|\cos\alpha\cos\beta|}$ 。
但由全微分练习题知此函数在原点不可微。

答案：任意方向方向导数存在，但不可微。说明方向导数存在不是可微的充分条件。

练习题

练习1

求 $z = xe^{2y}$ 在 $P(1,0)$ 处沿从 $P(1,0)$ 到 $Q(2,-1)$ 方向的方向导数。

参考答案(2 个标签)

方向导数两点方向

$\vec{PQ}=(1,-1)$ ， $\vec{l}^0=(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$
$f_x=e^{2y}, f_y=2xe^{2y}$ ，在 $(1,0)$ 处 $f_x=1, f_y=2$
$\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

答案： $-\frac{1}{\sqrt{2}}$

练习2

求 $u = x^2+y^2+z^2$ 在 $(1,1,1)$ 处沿方向角 $\alpha=\frac{\pi}{3}, \beta=\frac{\pi}{4}, \gamma=\frac{\pi}{3}$ 的方向导数。

参考答案(2 个标签)

方向导数方向角

$\cos\alpha=\frac{1}{2}, \cos\beta=\frac{\sqrt{2}}{2}, \cos\gamma=\frac{1}{2}$
$u_x=u_y=u_z=2$ （在 $(1,1,1)$ 处）
$\frac{\partial u}{\partial l} = 1 + \sqrt{2} + 1 = 2+\sqrt{2}$

答案： $2+\sqrt{2}$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\frac{\partial f}{\partial l}$	方向导数	partial f partial l	沿方向 l 的方向导数
$\vec{l}$	方向向量	vector l	指定的方向
$\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$	方向余弦	direction cosines	方向与各轴夹角的余弦

中英对照

中文术语	英文术语	音标
方向导数	directional derivative	/dəˈrɛkʃənəl dɪˈrɪvətɪv/
方向向量	direction vector	/dəˈrɛkʃən ˈvɛktər/
单位向量	unit vector	/ˈjuːnɪt ˈvɛktər/
方向余弦	direction cosine	/dəˈrɛkʃən ˈkoʊsaɪn/
变化率	rate of change	/reɪt əv tʃeɪndʒ/

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