基本运算法则

1. 由于 $\lim f(x) = A$，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $0 < \vert x - x_0 \vert < \delta_1$ 时，$\vert f(x) - A \vert < \frac{\varepsilon}{2}$

2. 由于 $\lim g(x) = B$，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_2 > 0$，使得当 $0 < \vert x - x_0 \vert < \delta_2$ 时，$\vert g(x) - B \vert < \frac{\varepsilon}{2}$

3. 取 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$，则当 $0 < \vert x - x_0 \vert < \delta$ 时： $\vert f(x) + g(x) - (A + B) \vert \leq \vert f(x) - A \vert + \vert g(x) - B \vert < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$

4. 因此 $\lim [f(x) + g(x)] = A + B$

证明思路：

1. 利用恒等式：$f(x) \cdot g(x) - A \cdot B = [f(x) - A] \cdot g(x) + A \cdot [g(x) - B]$

2. 由于 $\lim g(x) = B$，所以 $g(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有界

3. 利用无穷小的性质和有界函数与无穷小的积仍是无穷小

4. 得出 $\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$

推广：$\lim [c \cdot f(x)] = c \cdot A$（其中 $c$ 为常数）

证明思路：

1. 先证明 $\lim \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{B}$

2. 由于 $B \neq 0$，所以 $g(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内不为 0

3. 利用乘法法则：$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim f(x) \cdot \lim \frac{1}{g(x)} = A \cdot \frac{1}{B} = \frac{A}{B}$

推广：$\lim [f(x)]^{g(x)} = A^B$（需要满足一定条件）