因式分解法

因式分解法是求解 $\frac{0}{0}$ 型不定式的重要方法。通过因式分解，我们可以约去分子分母中的零因子，从而求出极限值。

基本原理

因式分解法的基本原理

当极限呈现 $\frac{0} {0}$ 型不定式时，说明分子分母在极限点都为零。通过因式分解，我们可以找到共同的零因子并约去。

适用条件

1. $\frac{0}{0}$ 型不定式

分子在极限点为零
分母在极限点为零
分子分母有共同的零因子

2. 常见形式

多项式函数： $P(x) = (x - a)Q(x)$
有理函数： $\frac{P(x)}{Q(x)}$ ，其中 $P(a) = Q(a) = 0$

求解步骤

识别不定式类型
对分子分母进行因式分解
约去共同的零因子
直接代入求值

常用因式分解公式

平方差公式

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

说明：两个数的平方差等于这两个数的和与差的积。

应用：

$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$
$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$

完全平方公式

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

说明：完全平方式可以分解为两个相同因式的积。

应用：

$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$
$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$

立方和公式

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

说明：两个数的立方和可以分解为它们的和与一个二次三项式的积。

应用：

$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$
$x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$

立方差公式

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

说明：两个数的立方差可以分解为它们的差与一个二次三项式的积。

应用：

$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$
$x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$

多项式因式分解

$x^n - a^n = (x - a)(x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + \cdots + a^{n-1})$

说明： $n$ 次幂差可以分解为一次因式与 $n-1$ 次多项式的积。

应用：

$x^4 - 1 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)$
$x^5 - 32 = (x - 2)(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16)$

典型例题

例题 1

求极限 $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$

参考答案(1 个标签)

因式分解

解题思路：这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，可以使用平方差公式因式分解。

详细步骤：

检查不定式类型：
- 当 $x = 3$ 时，分子 $x^2 - 9 = 9 - 9 = 0$
- 当 $x = 3$ 时，分母 $x - 3 = 3 - 3 = 0$
- 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式
对分子进行因式分解： $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)$
约去零因子： $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x + 3)(x - 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3)$
直接代入求值： $\lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6$

答案： $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6$

例题 2

求极限 $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$

参考答案(1 个标签)

因式分解

解题思路：这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，需要分别对分子分母进行因式分解。

详细步骤：

检查不定式类型：
- 当 $x = 2$ 时，分子 $x^3 - 8 = 8 - 8 = 0$
- 当 $x = 2$ 时，分母 $x^2 - 4 = 4 - 4 = 0$
- 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式
对分子进行因式分解： $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$
对分母进行因式分解： $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x + 2)(x - 2)$
约去零因子： $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x + 2)(x - 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$
直接代入求值： $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} = \frac{4 + 4 + 4}{4} = \frac{12}{4} = 3$

答案： $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = 3$

练习题

练习 1

求极限 $\lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1}$

参考答案(1 个标签)

因式分解

解题思路：这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，需要分别对分子分母进行因式分解。

详细步骤：

检查不定式类型：
- 当 $x = 1$ 时，分子 $x^4 - 1 = 1 - 1 = 0$
- 当 $x = 1$ 时，分母 $x^2 - 1 = 1 - 1 = 0$
- 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式
对分子进行因式分解： $x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 + 1)(x^2 - 1) = (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$
对分母进行因式分解： $x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$
约去零因子： $\lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \lim_{x \to 1} (x^2 + 1)$
直接代入求值： $\lim_{x \to 1} (x^2 + 1) = 1 + 1 = 2$

答案： $\lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1} = 2$

练习 2

求极限 $\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x^2 + 4x + 4}$

参考答案(1 个标签)

因式分解

解题思路：这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，需要分别对分子分母进行因式分解。

详细步骤：

检查不定式类型：
- 当 $x = -2$ 时，分子 $x^3 + 8 = -8 + 8 = 0$
- 当 $x = -2$ 时，分母 $x^2 + 4x + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$
- 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式
对分子进行因式分解： $x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$
对分母进行因式分解： $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$
约去零因子： $\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x^2 + 4x + 4} = \lim_{x \to -2} \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{(x + 2)^2} = \lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 2x + 4}{x + 2}$
直接代入求值： $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 2x + 4}{x + 2} = \frac{4 + 4 + 4}{0}$ 分母为零，需要进一步处理。
使用洛必达法则或重新因式分解：由于分母为零，这个极限不存在。

答案：该极限不存在。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\lim_{x \to a}$	数学符号	limit as x approaches a	$x \to a$ 时的极限
$P(x), Q(x)$	数学符号	P/Q of x	分子、分母多项式
$a$	数学符号	a	极限点
$a^2 - b^2$	数学符号	a squared minus b squared	平方差
$a^3 + b^3$	数学符号	a cubed plus b cubed	立方和
$a^3 - b^3$	数学符号	a cubed minus b cubed	立方差
$x^n - a^n$	数学符号	x to the n minus a to the n	幂差
$\frac{0}{0}$	数学符号	zero over zero	不定式

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
因式分解法	factorization	/ˌfæktəraɪˈzeɪʃən/	把表达式写成因式乘积
零因子	zero factor	/ˈzɪərəʊ ˈfæktə/	使表达式为零的因式
平方差公式	difference of squares	/ˈdɪfrəns əv skweəz/	$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
完全平方	perfect square	/ˈpɜːfɪkt skweə/	两个相同因式的积
立方和	sum of cubes	/sʌm əv kjuːbz/	$a^3 + b^3$ 的分解
立方差	difference of cubes	/ˈdɪfrəns əv kjuːbz/	$a^3 - b^3$ 的分解
不定式	indeterminate form	/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/	无法直接确定的极限形式

上一章节

直接代入法

直接代入法是求极限最基础的方法：函数在极限点连续时，可直接代入求值。

下一章节

有理化法

通过共轭式消除根号，将含根号的不定式转化为可求极限的方法。

因式分解法

基本原理

适用条件

1. $\frac{0}{0}$ 型不定式

2. 常见形式

求解步骤

常用因式分解公式

平方差公式

完全平方公式

立方和公式

立方差公式

多项式因式分解

典型例题

例题 1

例题 2

练习题

练习 1

练习 2

总结

本文出现的符号

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基本原理

适用条件

1. 00\frac{0}{0}00​ 型不定式

2. 常见形式

求解步骤

常用因式分解公式

平方差公式

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多项式因式分解

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