因式分解法

解题思路：这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，可以使用平方差公式因式分解。

详细步骤：

1. 检查不定式类型：

   • 当 $x = 3$ 时，分子 $x^2 - 9 = 9 - 9 = 0$
   • 当 $x = 3$ 时，分母 $x - 3 = 3 - 3 = 0$
   • 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式

2. 对分子进行因式分解： $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)$

3. 约去零因子： $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x + 3)(x - 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3)$

4. 直接代入求值： $\lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6$

答案： $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6$

解题思路：这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，需要分别对分子分母进行因式分解。

详细步骤：

1. 检查不定式类型：

   • 当 $x = 2$ 时，分子 $x^3 - 8 = 8 - 8 = 0$
   • 当 $x = 2$ 时，分母 $x^2 - 4 = 4 - 4 = 0$
   • 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式

2. 对分子进行因式分解： $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

3. 对分母进行因式分解： $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x + 2)(x - 2)$

4. 约去零因子： $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x + 2)(x - 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$

5. 直接代入求值： $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} = \frac{4 + 4 + 4}{4} = \frac{12}{4} = 3$

答案： $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = 3$

解题思路：这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，需要分别对分子分母进行因式分解。

详细步骤：

1. 检查不定式类型：

   • 当 $x = 1$ 时，分子 $x^4 - 1 = 1 - 1 = 0$
   • 当 $x = 1$ 时，分母 $x^2 - 1 = 1 - 1 = 0$
   • 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式

2. 对分子进行因式分解： $x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 + 1)(x^2 - 1) = (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$

3. 对分母进行因式分解： $x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$

4. 约去零因子： $\lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \lim_{x \to 1} (x^2 + 1)$

5. 直接代入求值： $\lim_{x \to 1} (x^2 + 1) = 1 + 1 = 2$

答案： $\lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1} = 2$

解题思路：这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，需要分别对分子分母进行因式分解。

详细步骤：

1. 检查不定式类型：

   • 当 $x = -2$ 时，分子 $x^3 + 8 = -8 + 8 = 0$
   • 当 $x = -2$ 时，分母 $x^2 + 4x + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$
   • 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式

2. 对分子进行因式分解： $x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

3. 对分母进行因式分解： $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$

4. 约去零因子： $\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x^2 + 4x + 4} = \lim_{x \to -2} \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{(x + 2)^2} = \lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 2x + 4}{x + 2}$

5. 直接代入求值： $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 2x + 4}{x + 2} = \frac{4 + 4 + 4}{0}$ 分母为零，需要进一步处理。

6. 使用洛必达法则或重新因式分解：由于分母为零，这个极限不存在。

答案：该极限不存在。