等价无穷小替换法

等价无穷小替换法是求解极限的重要方法。通过将复杂的无穷小量替换为等价的简单无穷小量，可以大大简化极限计算。

基本原理

如果 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 是等价无穷小，即 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ ，那么：

等价无穷小替换法的基本原理

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{\alpha(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{\beta(x)}$

$\sim$ ：等价符号，表示两个无穷小量之间的等价关系。

$\alpha$ （alpha）：希腊字母，读作”阿尔法”，在本文中表示无穷小量。

$\beta$ （beta）：希腊字母，读作”贝塔”，在本文中表示无穷小量。

等价无穷小的定义

当 $x \to a$ 时，如果 $\lim_{x \to a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$ ，则称 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 是等价无穷小，记作 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ 。

常用等价无穷小关系

1. 基本等价关系（ $x \to 0$ ）

$\sin x \sim x$ $\tan x \sim x$ $\arcsin x \sim x$ $\arctan x \sim x$ $\ln(1 + x) \sim x$ $e^x - 1 \sim x$ $(1 + x)^a - 1 \sim ax$

2. 复合等价关系

$\sin(x^2) \sim x^2$ $\ln(1 + x^2) \sim x^2$ $e^{x^2} - 1 \sim x^2$

3. 高阶等价关系

$\sin x - x \sim -\frac{x^3}{6}$ $\tan x - x \sim \frac{x^3}{3}$ $\ln(1 + x) - x \sim -\frac{x^2}{2}$

典型例题

例题 1

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x}$

参考答案(1 个标签)

等价无穷小

解题思路：这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，可以使用等价无穷小替换。

详细步骤：

检查不定式类型：
- 当 $x \to 0$ 时，分子 $\sin 3x \to 0$
- 当 $x \to 0$ 时，分母 $\tan 2x \to 0$
- 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式
使用等价无穷小替换：
- $\sin 3x \sim 3x$
- $\tan 2x \sim 2x$
替换后求极限： $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

答案： $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} = \frac{3}{2}$

例题 2

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2}$

参考答案(1 个标签)

等价无穷小

解题思路：这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，可以使用等价无穷小替换。

详细步骤：

检查不定式类型：
- 当 $x \to 0$ 时，分子 $\ln(1 + x^2) \to 0$
- 当 $x \to 0$ 时，分母 $x^2 \to 0$
- 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式
使用等价无穷小替换：
- $\ln(1 + x^2) \sim x^2$
替换后求极限： $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} 1 = 1$

答案： $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} = 1$

练习题

练习 1

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x}$

参考答案(1 个标签)

等价无穷小

解题思路：这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，可以使用等价无穷小替换。

详细步骤：

检查不定式类型：
- 当 $x \to 0$ 时，分子 $e^x - 1 \to 0$
- 当 $x \to 0$ 时，分母 $\sin x \to 0$
- 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式
使用等价无穷小替换：
- $e^x - 1 \sim x$
- $\sin x \sim x$
替换后求极限： $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0} 1 = 1$

答案： $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = 1$

练习 2

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$

参考答案(1 个标签)

等价无穷小

解题思路：这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，需要使用高阶等价关系。

详细步骤：

检查不定式类型：
- 当 $x \to 0$ 时，分子 $\tan x - x \to 0$
- 当 $x \to 0$ 时，分母 $x^3 \to 0$
- 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式
使用高阶等价关系：
- $\tan x - x \sim \frac{x^3}{3}$
替换后求极限： $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3}}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

答案： $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \frac{1}{3}$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\lim_{x \to a}$	数学符号	limit as x approaches a	$x \to a$ 时的极限
$\sim$	数学符号	tilde（等价号）	两个无穷小量等价
$\alpha(x), \beta(x)$	希腊字母	Alpha/Beta（阿尔法/贝塔）	无穷小量
$f(x)$	数学符号	f of x	参与极限比较的函数
$\sin x, \tan x$	数学符号	sine/tangent of x	三角函数
$\arcsin x, \arctan x$	数学符号	arc sine/arc tangent of x	反三角函数
$\ln(1 + x)$	数学符号	natural log of 1 plus x	自然对数函数
$e^x$	数学符号	e to the x	指数函数
$(1 + x)^a$	数学符号	1 plus x to the a	幂函数
$\frac{0}{0}$	数学符号	zero over zero	不定式

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
等价无穷小	equivalent infinitesimal	/ɪˈkwɪvələnt ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/	比值趋于 1 的无穷小量
无穷小量	infinitesimal	/ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/	趋于零的变量
等价替换	equivalent substitution	/ɪˈkwɪvələnt ˌsʌbstɪˈtjuːʃən/	用等价量替换简化计算
不定式	indeterminate form	/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/	无法直接确定的极限形式
高阶等价	higher-order equivalence	/ˈhaɪə ˈɔːdə ɪˈkwɪvələns/	更高阶的等价关系
反三角函数	inverse trigonometric function	/ˌɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃən/	三角函数的反函数