单调有界准则

解题思路： 先证明数列单调递减且有下界，然后求极限。

详细步骤：

1. 证明单调递减： $x_{n+1} - x_n = \frac{(n+1)^2 + 1}{(n+1)^2 + (n+1)} - \frac{n^2 + 1}{n^2 + n} < 0$

2. 证明有下界： $x_n = \frac{n^2 + 1}{n^2 + n} = 1 - \frac{n-1}{n^2 + n} > 0$

3. 由单调有界准则，数列收敛

4. 求极限： $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{n^2 + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n}} = 1$

答案：数列收敛，极限为 1。

解题思路： 证明数列单调递增且有上界，然后求极限。

详细步骤：

1. 证明单调递增： $x_{n+1} - x_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$

2. 证明有上界： $x_n = \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} < 1$

3. 由单调有界准则，数列收敛

4. 求极限： $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1$

答案：极限为 1。

解题思路： 证明数列单调递增且有上界。

详细步骤：

1. 证明单调递增： 利用二项式定理展开，可以证明 $x_{n+1} > x_n$

2. 证明有上界： 可以证明 $x_n < 3$（通过数学归纳法）

3. 由单调有界准则，数列收敛

4. 该数列的极限就是自然常数 $e$

答案：数列收敛，极限为 $e$。

解题思路： 证明数列单调递减且有下界。

详细步骤：

1. 证明单调递减： 当 $n \geq 3$ 时，$x_{n+1} < x_n$

2. 证明有下界： $x_n = \sqrt[n]{n} \geq 1$

3. 由单调有界准则，数列收敛

4. 求极限： $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$

答案：数列收敛，极限为 1。