第一类换元法（凑微分法）

第一类换元法是最常用的积分方法之一。

基本思想

步骤

1. 识别被积函数中的复合函数部分
2. 设 $u = \varphi(x)$，计算 $du = \varphi'(x) dx$
3. 将原积分转化为关于 $u$ 的积分
4. 计算新积分，最后将 $u$ 换回 $x$

例子

例子 1：$\int x e^{x^2} dx$

解：

• 设 $u = x^2$，则 $du = 2x dx$
• $\int x e^{x^2} dx = \frac{1}{2}\int e^u du = \frac{1}{2}e^u + C = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$

例子 2：$\int \frac{1}{x \ln x} dx$

解：

• 设 $u = \ln x$，则 $du = \frac{1}{x} dx$
• $\int \frac{1}{x \ln x} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C = \ln|\ln x| + C$

例子 3：$\int \sin(2x + 1) dx$

解：

• 设 $u = 2x + 1$，则 $du = 2 dx$
• $\int \sin(2x + 1) dx = \frac{1}{2}\int \sin u du = -\frac{1}{2}\cos u + C = -\frac{1}{2}\cos(2x + 1) + C$

练习题

练习 1

使用换元积分法计算 $\int x e^{x^2} dx$。