分部积分法

分部积分法是处理乘积型被积函数的重要方法。

基本公式

选择 $u$ 和 $dv$ 的原则

例子

例子 1：$\int x \cos x dx$

解：

• 设 $u = x$，$dv = \cos x dx$
• 则 $du = dx$，$v = \sin x$
• $\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C$

例子 2：$\int x^2 e^x dx$

解：

• 设 $u = x^2$，$dv = e^x dx$
• 则 $du = 2x dx$，$v = e^x$
• $\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx$
• 再次使用分部积分法：设 $u = 2x$，$dv = e^x dx$
• 则 $du = 2 dx$，$v = e^x$
• $\int 2x e^x dx = 2x e^x - \int 2 e^x dx = 2x e^x - 2e^x + C$
• 所以 $\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C$

例子 3：$\int \ln x dx$

解：

• 设 $u = \ln x$，$dv = dx$
• 则 $du = \frac{1}{x} dx$，$v = x$
• $\int \ln x dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - \int dx = x \ln x - x + C$

练习题

练习 1

使用分部积分法计算 $\int x \sin x dx$。