定义与导数性质

在了解了面积直观之后，需要给积分上限函数一个严格的数学定义，并证明它确实拥有“导数等于被积函数”的关键性质。

定义

基本性质

这个结论是微积分基本定理的“前半部分”，连接了微分与积分。

证明的详细过程

步骤 1：利用导数的定义

$F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_a^{x+h} f(t) \, dt - \int_a^x f(t) \, dt}{h}$

步骤 2：利用积分的区间可加性

$F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\int_x^{x+h} f(t) \, dt}{h}$

步骤 3：利用积分中值定理

根据积分中值定理，存在 $\xi \in [x, x+h]$（或 $[x+h, x]$），使得

$\int_x^{x+h} f(t) \, dt = f(\xi) \cdot h$

步骤 4：取极限

$F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\xi) \cdot h}{h} = \lim_{h \to 0} f(\xi) = f(x)$

至此完成证明。积分上限函数不仅有几何意义，也具备良好的可导性，这为后续的应用与推广奠定了基础。