利用周期性

利用函数的周期性可以简化定积分的计算。

周期函数的积分

证明：利用积分的区间可加性和周期函数的性质。

应用例子

例子 1：计算 $\int_0^{2\pi} \sin x dx$

解：

• $\sin x$ 是周期为 $2\pi$ 的函数
• $\int_0^{2\pi} \sin x dx = 0$（因为 $\sin x$ 在 $[0, 2\pi]$ 上的正负面积相等）

例子 2：计算 $\int_0^{4\pi} \cos^2 x dx$

解：

• $\cos^2 x$ 是周期为 $\pi$ 的函数
• $\int_0^{4\pi} \cos^2 x dx = 4\int_0^{\pi} \cos^2 x dx = 4 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi$

练习题

练习 1

利用周期性计算 $\int_0^{6\pi} \sin x dx$。