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余弦级数

定义

余弦级数的定义

级数 ∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} 称为余弦级数。

符号说明
符号类型读音/说明在本文中的含义
∑\sum希腊字母Sigma（西格玛）求和符号，表示级数
∞\infty数学符号无穷大表示无穷级数，项数无限
n!n!数学符号阶乘nn 的阶乘，n!=n×(n−1)×⋯×1n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1

收敛性

余弦级数收敛性

对任意实数 xx，级数都收敛，和为：

∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n=cos⁡x\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = \cos x

证明

使用比值判别法：

an+1an=(−1)n+1(2(n+1))!x2(n+1)⋅(2n)!(−1)nx2n=−x2(2n+1)(2n+2)\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(-1)^{n+1}}{(2(n+1))!} x^{2(n+1)} \cdot \frac{(2n)!}{(-1)^n x^{2n}} = -\frac{x^2}{(2n+1)(2n+2)}

lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞x2(2n+1)(2n+2)=0<1\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{x^2}{(2n+1)(2n+2)} = 0 < 1

所以对任意实数 xx，级数都收敛。

例题

例 1

求级数 ∑n=0∞(−1)n(2n)!(π3)2n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \left(\frac{\pi}{3}\right)^{2n} 的和。

解： 这是余弦级数，x=π3x = \frac{\pi}{3}

所以和为：cos⁡(π3)=12\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}

例 2

求级数 ∑n=0∞(−1)n(2n)!π2n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \pi^{2n} 的和。

解： 这是余弦级数，x=πx = \pi

所以和为：cos⁡(π)=−1\cos(\pi) = -1

练习题

练习 1

求级数 ∑n=0∞(−1)n(2n)!(π4)2n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2n} 的和。

参考答案 (2 个标签)
余弦级数 级数求和

解题思路： 这是余弦级数，需要确定 xx 的值。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=0∞(−1)n(2n)!(π4)2n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2n} 是余弦级数
  2. 确定参数：x=π4x = \frac{\pi}{4}
  3. 计算和：S=cos⁡(π4)=22S = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}

答案： 和为 22\frac{\sqrt{2}}{2}。

练习 2

求级数 ∑n=0∞(−1)n(2n)!(π6)2n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \left(\frac{\pi}{6}\right)^{2n} 的和。

参考答案 (2 个标签)
余弦级数 级数求和

解题思路： 这是余弦级数，需要确定 xx 的值。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=0∞(−1)n(2n)!(π6)2n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \left(\frac{\pi}{6}\right)^{2n} 是余弦级数
  2. 确定参数：x=π6x = \frac{\pi}{6}
  3. 计算和：S=cos⁡(π6)=32S = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}

答案： 和为 32\frac{\sqrt{3}}{2}。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
xx数学符号变量余弦级数中的变量
π\pi希腊字母Pi（派）圆周率，约等于 3.14159
cos⁡\cos数学符号余弦余弦函数
lim⁡\lim数学符号极限表示数列或函数的极限

中英对照

中文术语英文术语音标说明
余弦级数cosine series/ˈkəʊsaɪn ˈsɪəriːz/形如 ∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} 的级数
收敛convergence/kənˈvɜːdʒəns/级数部分和序列有有限极限
比值判别法ratio test/ˈreɪʃiəʊ test/通过相邻项比值判断收敛性的方法
上一章节 正弦级数 学习正弦级数的定义、收敛性及其应用。
下一章节 正切级数 学习正切级数的定义、收敛性及其应用。

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