比值判别法

定义

比值判别法

设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 为正项级数，且 $a_n > 0$ ，如果：

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho$

则：

符号说明

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\rho$	希腊字母	Rho（柔）	表示级数收敛性判别中的极限值
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$\lim$	数学符号	极限	表示数列或函数的极限

比值判别法公式

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho$

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$ 的收敛性。

解： $a_n = \frac{n!}{n^n}$

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{e} < 1$

所以级数收敛。

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ 的收敛性。

参考答案 (2 个标签)

级数收敛性比值判别法

解题思路：使用比值判别法，计算相邻项的比值极限。

详细步骤：

设 $a_n = \frac{n}{2^n}$
计算比值： $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{2n}$
求极限： $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1$
判断收敛性：比值小于 1，所以级数收敛

答案：级数收敛（convergence）。

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$e$	数学符号	自然常数	自然对数的底，约等于 2.71828