无穷级数的基本概念

级数的概念

级数的定义

设 $\{a_n\}$ 是一个数列，则表达式：

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n + \cdots

称为无穷级数，简称级数。其中 $a_n$ 称为级数的通项。

符号说明

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\{a_n\}$	数学符号	数列表示法	表示一个数列， $a_n$ 是第 $n$ 项
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限

部分和

部分和的定义

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的前 $n$ 项和：

S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \sum_{k=1}^n a_k

称为级数的第 $n$ 个部分和。

收敛

下面的示意图展示了经典的收敛几何级数（每一项减半）的部分和。图中横坐标表示项数 $n$ ，纵坐标表示前 $n$ 项的部分和。你可以看到曲线在短时间内逼近某个有限值，说明级数收敛速度很快。

级数收敛的定义

如果数列 $\{S_n\}$ 收敛（convergence），即存在有限极限：

\lim_{n \to \infty} S_n = S

则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛（convergence）， $S$ 称为级数的和，记作：

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S

发散

当部分和序列不断增长、没有有限极限时，我们称对应的级数发散。下面的图表专门展示调和级数（ $\sum \frac{1}{n}$ ）的部分和，它会随着项数持续增加而不停上升，清晰地体现发散的特征。

级数发散的定义

如果数列 $\{S_n\}$ 发散（divergence），则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散（divergence）。

级数的性质

线性性质

如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 都收敛，则：

级数线性性质

$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n$

$\sum_{n=1}^{\infty} (ca_n) = c \sum_{n=1}^{\infty} a_n$

其中 $c$ 为常数。

收敛的必要条件

如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛（convergence），则：

级数收敛的必要条件

如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则其通项必趋于 0：

\lim_{n \to \infty} a_n = 0

证明

证明思路：利用级数收敛的定义和数列极限的性质。

详细证明：

设级数收敛：设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，其和为 $S$ ，即： $\lim_{n \to \infty} S_n = S$ 其中 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$
表示通项：注意到 $a_n = S_n - S_{n-1}$ （当 $n \geq 2$ 时）
计算极限： $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (S_n - S_{n-1}) = \lim_{n \to \infty} S_n - \lim_{n \to \infty} S_{n-1} = S - S = 0$
结论：因此 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

证明完成：如果级数收敛，则其通项必趋于零。

注意：这是必要条件，不是充分条件。即 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ 不能保证级数收敛（convergence）。

练习题

练习 1

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ 的收敛性。

参考答案 (2 个标签)

级数收敛性比值判别法

解题思路：使用比值判别法，计算相邻项的比值极限。

详细步骤：

设 $a_n = \frac{n}{2^n}$
计算比值： $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{2n}$
求极限： $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1$
判断收敛性：比值小于 1，所以级数收敛

答案：级数收敛（convergence）。

练习 2

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ 的收敛性。

参考答案 (3 个标签)

级数收敛性绝对收敛 p级数

解题思路：先判断绝对收敛性，如果绝对收敛则原级数收敛。

详细步骤：

考虑绝对值级数： $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
这是 $p$ 级数， $p = 2 > 1$ ，所以绝对收敛
由于绝对收敛，所以原级数收敛

答案：级数收敛（convergence）。

练习 3

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}$ 的收敛性。

参考答案 (2 个标签)

级数收敛性积分判别法

解题思路：使用积分判别法，将级数与积分进行比较。

详细步骤：

设 $f(x) = \frac{1}{x\ln x}$ ，则 $a_n = f(n)$
计算积分： $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x\ln x} dx = \int_2^{+\infty} \frac{1}{\ln x} d(\ln x) = \ln(\ln x) \big|_2^{+\infty} = +\infty$
积分发散，所以级数发散

答案：级数发散（divergence）。

练习 4

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n}$ 的收敛性。

参考答案 (3 个标签)

级数收敛性比较判别法 p级数

解题思路：使用比较判别法，与已知收敛的级数进行比较。

详细步骤：

由于 $\frac{1}{n^2 + n} < \frac{1}{n^2}$ ，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是收敛的 $p$ 级数（ $p = 2 > 1$ ）
由比较判别法， $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n}$ 收敛

答案：级数收敛（convergence）。

练习 5

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{1/2}}$ 的收敛性。

参考答案 (6 个标签)

级数收敛性绝对收敛条件收敛交错级数莱布尼茨判别法 p级数

解题思路：先判断绝对收敛性，如果绝对收敛则原级数收敛。

详细步骤：

考虑绝对值级数： $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$
这是 $p$ 级数， $p = \frac{1}{2} \leq 1$ ，所以发散
由于绝对值级数发散，需要进一步判断
原级数是交错级数， $a_n = \frac{1}{n^{1/2}}$
检查莱布尼茨判别法条件：
- $a_n > 0$ ✓
- $a_{n+1} < a_n$ ✓（因为 $\frac{1}{(n+1)^{1/2}} < \frac{1}{n^{1/2}}$ ）
- $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ ✓
满足莱布尼茨判别法条件，所以级数收敛

答案：级数收敛（条件收敛）（conditional convergence）。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\{a_n\}$	数学符号	数列表示法	表示一个数列， $a_n$ 是第 $n$ 项
$S_n$	数学符号	部分和	级数的前 $n$ 项和
$\lim$	数学符号	极限	表示数列或函数的极限
$\rho$	希腊字母	Rho（柔）	表示级数收敛性判别中的极限值

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
级数	series	/ˈsɪəriːz/	无穷项的和，记作 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$
无穷级数	infinite series	/ˈɪnfɪnɪt ˈsɪəriːz/	项数无限的级数
通项	general term	/ˈdʒenərəl tɜːm/	级数中第 $n$ 项 $a_n$
部分和	partial sum	/ˈpɑːʃəl sʌm/	级数前 $n$ 项的和 $S_n$
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
发散	divergence	/daɪˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列无有限极限
和	sum	/sʌm/	收敛级数的极限值
线性性质	linearity property	/ˈlɪniəriti ˈprɒpəti/	级数运算的线性特征
必要条件	necessary condition	/nɪˈsesəri kənˈdɪʃən/	级数收敛必须满足的条件
充分条件	sufficient condition	/səˈfɪʃənt kənˈdɪʃən/	保证级数收敛的充分条件
条件收敛	conditional convergence	/kənˈdɪʃənəl kənˈvɜːdʒəns/	级数收敛但绝对值级数发散

上一章节无穷级数的历史背景

下一章节收敛性判别法学习各种级数收敛判别法，包括正项级数、交错级数以及一般（任意项）级数的判别法。

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