函数的极值

解题思路： 通过图像分析和数值比较来判断极值。

详细步骤：

1. 绘制函数图像： 这是一个二次函数，图像为抛物线，开口向上。

2. 识别极值点： 由于抛物线开口向上，函数有最小值点（极小值点），没有最大值点。

3. 求极小值点： 对于二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其对称轴为 $x = -\frac{b}{2a}$ $x = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2$

4. 计算极值： $f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

5. 验证： 取 $x = 1$，$f(1) = 1 - 4 + 3 = 0 > -1$ 取 $x = 3$，$f(3) = 9 - 12 + 3 = 0 > -1$ 确认 $x = 2$ 为极小值点。

答案： 函数在 $x = 2$ 处取得极小值 $-1$。

解题思路： 通过图像分析和数值比较来判断极值。

详细步骤：

1. 绘制函数图像： 这是一个二次函数，图像为抛物线，开口向下。

2. 识别极值点： 由于抛物线开口向下，函数有最大值点（极大值点），没有最小值点。

3. 求极大值点： 对于二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其对称轴为 $x = -\frac{b}{2a}$ $x = -\frac{2}{2 \times (-1)} = 1$

4. 计算极值： $f(1) = -1^2 + 2 \times 1 + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$

5. 验证： 取 $x = 0$，$f(0) = 0 + 0 + 1 = 1 < 2$ 取 $x = 2$，$f(2) = -4 + 4 + 1 = 1 < 2$ 确认 $x = 1$ 为极大值点。

答案： 函数在 $x = 1$ 处取得极大值 $2$。

解题思路： 建立函数关系，通过图像分析求极值。

详细步骤：

1. 建立函数关系： 设长方形的长为 $x$，宽为 $y$ 周长：$2(x + y) = 20$，所以 $y = 10 - x$ 面积：$S = xy = x(10 - x) = 10x - x^2$

2. 分析函数： 这是一个二次函数 $S(x) = -x^2 + 10x$，开口向下，有最大值。

3. 求最大值点： 对称轴：$x = -\frac{10}{2 \times (-1)} = 5$

4. 计算最大值： $S(5) = 10 \times 5 - 5^2 = 50 - 25 = 25$

5. 验证： 当 $x = 4$ 时，$S(4) = 40 - 16 = 24 < 25$ 当 $x = 6$ 时，$S(6) = 60 - 36 = 24 < 25$

答案： 当长方形的长为 $5$ 厘米，宽为 $5$ 厘米时，面积取得最大值 $25$ 平方厘米。

解题思路： 通过图像分析和数值比较来判断极值。

详细步骤：

1. 绘制函数图像： 这是一个二次函数，图像为抛物线，开口向上。

2. 识别极值点： 由于抛物线开口向上，函数有最小值点（极小值点），没有最大值点。

3. 求极小值点： 对于二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其对称轴为 $x = -\frac{b}{2a}$ $x = -\frac{2}{2 \times 1} = -1$

4. 计算极值： $f(-1) = (-1)^2 + 2 \times (-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$

5. 验证： 取 $x = -2$，$f(-2) = 4 - 4 + 1 = 1 > 0$ 取 $x = 0$，$f(0) = 0 + 0 + 1 = 1 > 0$ 确认 $x = -1$ 为极小值点。

答案： 函数在 $x = -1$ 处取得极小值 $0$。

解题思路： 通过图像分析和数值比较来判断极值。

详细步骤：

1. 绘制函数图像： 这是一个二次函数，图像为抛物线，开口向下。

2. 识别极值点： 由于抛物线开口向下，函数有最大值点（极大值点），没有最小值点。

3. 求极大值点： 对于二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其对称轴为 $x = -\frac{b}{2a}$ $x = -\frac{6}{2 \times (-1)} = 3$

4. 计算极值： $f(3) = -3^2 + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$

5. 验证： 取 $x = 2$，$f(2) = -4 + 12 - 5 = 3 < 4$ 取 $x = 4$，$f(4) = -16 + 24 - 5 = 3 < 4$ 确认 $x = 3$ 为极大值点。

答案： 函数在 $x = 3$ 处取得极大值 $4$。

解题思路： 本题考查积分上限函数的极值判定。首先需要对 $f(x)$ 求导，判断 $x=0$ 是否为极值点，并计算极值。

详细步骤：

1. 由 $f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$，根据微积分基本定理，$f'(x) = e^{x^2} \sin x$。
2. 计算 $f'(0)$：$f'(0) = e^{0} \sin 0 = 1 \times 0 = 0$，说明 $x=0$ 处导数为零，有可能为极值点。
3. 计算 $f''(x)$： $$f''(x) = \frac{d}{dx}[e^{x^2} \sin x] = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x$$
4. 计算 $f''(0)$： $$f''(0) = 2 \times 0 \times 1 \times 0 + 1 \times 1 = 0 + 1 = 1 > 0$$ 说明 $x=0$ 处为极小值点。
5. 计算极小值： $$f(0) = \int_0^0 e^{t^2} \sin t\,dt = 0$$

答案： $x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点，对应极小值为 $0$。